双信悖论的诠释与最优计谋

半老徐爷椒

来历：知乎
双信交换悖论是一个离我们很近的悖论，它发生于1992年，已经激发统计学界长时候的对话。
你在加入一个游戏。现有信封A和B，它们里面都装着钱，已知其中一个的金额是另一个的两倍(可是不晓得具体金额是几多)。现在让你任挑其中一个信封，你将获得里面的钱。
在你翻开信封以后，你可以要求换成别的一个信封。那末你会交换信封吗？
有人会这样想：假定我一路头挑选的金额是 x  。那末另一封信的金额有一半的几率是 2x  ，一半的几率是 \frac{x}{2} 。那末假如我挑选交换，我获得的数学期望将是： \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cdot2x=\frac{5}{4}x ，多于现在的 x ，那末附和交换。
对方也以为交换信封对自己有益，但是这样的买卖不成能对双方都有益，这就激发了悖论。
链接：
在上面的链接里已经有过对这个题目标会商，部分答主的回答也充足专业。我将不反复赘述。我新开这篇文章的目标有两个：首先是补充一个浅显的初等几率论框架的诠释；然后更首要的目标是提出最优战略的拔取。
<hr/>阿谁题目下的部分回答很专业，可是用到了严酷的测度论工具，测度论对很多几率论进修者能够并不友爱。究竟上这个题目是可以在初等几率论的框架下获得严酷诠释的，这个诠释由Christensen and Utts提出。
令X和Y别离暗示你和对方的数值，m暗示两封信中数目更小的数值。大大都人了解的条件几率是 P(Y=y|X=x)=\frac{1}{2} 。这个几率是错的。正确的条件几率应当是 P(Y=2x|X=m)=1 ，且 P(Y=\frac{x}{2}|X=2m)=1 。
接下来自然是比力你起头的数值的数学期望与交换后你获得的数值的数学期望。
你起头的数值的数学期望是比力好计较的： E(X)=\frac{1}{2}(2m)+\frac{1}{2}m=\frac{3}{2}m
交换后你获得的数值的数学期望：
P(X=m)[2mP(Y=2x|X=m)+mP(Y=x|X=m)]
+P(X=2m)[mP(Y=\frac{x}{2}|X=2m)+2mP(Y=x|X=2m)]
上面的式子用到了两次重期望公式，也叫作期望的全几率公式。
由于我们有 P(X=m)=P(X=2m)=\frac{1}{2}，
P(Y=2x|X=m)=1 ， P(Y=\frac{x}{2}|X=2m)=1 ，
P(Y=x|X=m)=P(Y=x|X=2m)=0 ，
代入得交换后获得数值的数学期望为 \frac{3}{2}m 。
数学期望是没有变化的，是以交换与否都不会带来期望收益的增加或损失。这就在初等几率论的框架下诠释了悖论发生的缘由。
<hr/>那末我们有没有使自己获益的战略呢？在理想情况是没有的。可是假如这件事真的发生在现实，那末我们有一定的战略。首先我们举三个例子：
假定主持人告诉你：信里的金额不会跨越1000元。那末假如你信里的数字是950元，那你一定不会交换信封，由于不存在1900元。
大概假定主持人告诉你：由于节目组资金有限，金额越小的数值出现的能够性越大。当你发现你的信封里有10000元，你大要率不会挑选交换，这已经是一个大数值了。
大概假定主持人告诉你：之前加入节目标人获得信封里的金额绝大大都在500-1500之间。这一次假如你的数值是3200，那末你大要率不应当交换；相反，假如你的数值只要290元，你交换后翻倍的能够性会大于二分之一。
这三个例子说明：假如你晓得信封里的数值的范围、散布状态大概先验信息，你将会有一个对自己有益的对策。
究竟上，在第二个假定动身，假定信封里的金额服从指数散布是公道的。由于节目组一般来说资金有限，不成能有无穷的金钱，金额越大的数值出现的能够性越小，而指数散布合适这条性质。
接下来我们需要量化这个进程。究竟上，以下的进程不需要你首先对散布作任何假定，它可以不是指数散布。
令更小的数值为M，它服从 f(m) 。
则 P(M=x|X=x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(\frac{x}{2})} ，
且 P(M=\frac{x}{2}|X=x)=\frac{f(\frac{x}{2})}{f(x)+f(\frac{x}{2})} 。
交换后得益的数学期望为 2x\frac{f(x)}{f(x)+f(\frac{x}{2})}+\frac{x}{2}\frac{f(\frac{x}{2})}{f(x)+f(\frac{x}{2})} ，
略加整理后你会发现，只要当 f(\frac{x}{2})<2f(x) 时，交换信封才对你有益。
这个结论是具有一般性的。出格地，假如我们以为节目组供给的资金服从参数为 \lambda 的指数散布，那末当 x<2\lambda ln2 时，交换信封才对你有益。 如：你从以往的节目数据得知，两个信封中最小值的均匀值约为50。那末在此次游戏里，你的信封里的数值小于70元时，挑选交换是对你有益的战略。

原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/48544384
免责声明：本帖内容由机械人自动收集于互联网，如加害了您的权益，请联系我们【E-Mail:cb@yoyodoc.com】 我们会实时删除侵权内容，给您带来未便，深感歉意！

尹以为荣

牛逼！

喝多的板砖剂

最初一段量化能否是算错了，“服从f(m)”前面的第一个公式，分母应当是f(x)+f(x/2)/2吧？

NYB冬冬

交换后的期望写的有点简单，E(X)=P(X=m)E(Y|X=m)+P(X=2m)E(Y|X=2m)

因为我是真真

我感受还是没有处理从第一视角处理的题目
我发现我的信封里有50元，另一个信封1/2能够是100元，1/2能够是25元，还是要换啊

梦的衣裳323

做个小法式算一下不就晓得了吗。我感觉这个题目有一定的欺骗性，比如轻易疏忽钱的数目这一随机变量。但即使加入这个变量，换与不换的成果都一样，期待回报没有变化，都是全部赌资的一半。

御风而行2017

跳着看了吧：
数学期望是没有变化的，是以交换与否都不会带来期望收益的增加或损失
那末我们有没有使自己获益的战略呢？在理想情况是没有的。

Sstz0719

说白了期望只是均匀值，又不是绝对的。

紫罗兰的叶栏

应当是E(Y) = E(E(Y|X)) = P(X=m)E(Y|X=m) + P(X=2m) E(Y|X=2m)吧

潘多拉945

为什么你不写一下“不晓得信封中钱的散布”时辰，一个比不交换/随机交换更好的战略呢？