我对所谓“蒙提霍尔题目”的解答

查里一试张

来历：知乎



我对所谓蒙提霍尔题目标解答

沈卫国
偶然又回忆起2013年的这个题目。它由科学网博主应兴仁师长先容的（见文后附录），听说此题目拖延几十年未能处理，很说明一些题目。牵扯到一些名流的体面之类吧。我不出半小时，就搞定。见这里完全拷贝确昔时的答复。十年矣！应师长自2019年以后，再未见更新博客，近年这个情况，不知他若何了？哎。昔时我已经与其辩说过一些题目，所以说话多有不敬，实录于此，不改了。唯在此表歉意尔！
[33]qygrswg   2013-3-11 23:02
这个所谓“猛体落而”题目，没细看，好象挺复杂，挺乱。但阿谁“两个信封题目”，大白了。这也算题目？题目出在这里：他现实上成了这个题目了：选定一个信封后，还有两个信封，一个装1/2，一个装2。大概就算只要一个信封，但装1/2和2 的几率各1/2。此时他最早选的阿谁信封中装1。1是稳定的。这样才有1.25的事。所以文中的论述是错的。实在的答案应当是：由于两个信封中的钱的比例关系已定了。所以，我们得说当我们拿到的信封的中的钱是多的（2）时（此为条件），才有另一个信封中的钱是1/2。此时有2*1/2=1。而相反，假如我们最早拿到的信封中装的钱是少的（1/2），才有另一个信封中的钱是多的（2），也就是有1/2*2=1。其几率是（1+1）/2=1。不是吗？此为条件几率。所以说，数学中布满着隐含的条件。光从字面上了解是看不透本质的。
应行仁 答复  ： 这只是反衬【说法4】给大师思考热身的小佐料，一切的跟帖都是在斟酌有难度的真正题目
[36]qygrswg   2013-3-12 18:06
就这么个题目，疑似很简单的么。怎样会像博主说的那末邪呼。还是我自己的了解有题目？
   我的看法是：三个门，别离是车、羊1和羊2。
    情况别离是：四种情况，1、客人选羊1，主持人选羊2，客人选车，赢1；
           2、客人选羊2，主持人选羊1，客人选车，赢2；
           3、客人选车，主持大家选羊1，客人选羊2，输1；
            4、客人选车，主持人选羊2，客人选羊1，输2。
       假如能如此，固然赢面一样，几率相称。但客人的挑选是随机的，选车、羊1、羊2的几率各1/3。也就是3、4步合起来，不是占1/2的几率，而是1/3的几率。如此，终极几率必纷歧样了，如此选法，赢面大。而不是什么1/2的几率了。
[1]qygrswg   2013-3-14 09:23
弄了一大堆花里巴哨的公式，你自己看看你都写了些什么：倒数第三段。
        “。。。。。。在这类情况下2号门、三号门前面都是山羊，。。。。2号门有车的几率是三分之二。。。。。。。”等等。请想好了再写！
         你的钱包里一无一切，但有钱的几率是2/3，对吧？不错呀，你财源滔滔，白手套白狼，什么时辰把你的这个钱包给我用用，我给你背工。呵呵
[10]qygrswg   2013-3-14 16:12
贝叶斯假如还在世，也得让这些人给活活力死。
      游戏介入者选中这三个门的几率固然都是1/3。由于他不晓得车在那里。车如在1号门，游戏介入者选它的几率固然是1/3，此点主持人不成能操纵。改变其几率。在条件下，主持人牢固选3号门，几率为1；主持人随机选2号、3号门，几率各1/2，这能说明什么？对无车有羊这一点而言，两者完全一样！，一个是几率1，一个是1/2+1/2=1,还是1。1再乘1/3，还是1/3。
        这些人是被自己的公式把脑子搞乱了！
[11]qygrswg   2013-3-14 16:25
这个故事，假如是真的话，是个典型的所谓“专业人士”败在专业人士的手下，尔后想方设法把水混淆（这里是用他们的拿手好戏——谁也不懂，他们自己也一定真懂或全懂的“公式”），试图挽回点体面的绝好实例。
[14]qygrswg   2013-3-15 10:51
此题是一个乱套公式的典型案例。倒数第三段。开首的阿谁1/2，不是像概况看起来的那样是带进公式中的，而是在游戏者一路头就选中有车的门后，必定出现的两种情况中每一个的必定的几率。这是条件几率，无别的挑选，对这个公式的可用性而言。尔后来的“1”，几率，不是自然的，而是报酬的。概况看它也是几率，但这里是作为报酬加进的新条件而获得的几率，而不是这个公式所代表的阿谁条件下的几率了。所以，原公式必不成用。要在新条件下建立新的公式，不是几率1，把1带进去就了事了。
       既然早有尝试及计较机模拟的正确结论，就应当充实尊重尝试，以此来审阅理论、公式。而不是相反。
[4]qygrswg   2013-3-16 19:47
做学问，要有把复杂的题目最简化，一把就捉住关键的才能。而不是相反，把题目搞的头昏眼花。假如真如博主先容的情况，此题目搞了几十年才大白，只能说明本国人也不咋地。我在这个题目标博文的之一、之二中的留言没错。而且哪有那末复杂。博文中的二信封题目和这个蒙什么题目，我各自的思考时候不外半个小时。进来散步时还不大白，返来就大白了。我对阿谁91年的“逆袭”的化解，本质就是什么“主观几率”的另一种说法而已。总之，不能与原几率混用。就这么个题目，还用二十年？难以置信！不外联想到康托对角线法的题目存在百多年了，居然无人看穿。我如此详实地表述出了，还不大白，这些难以置信的事，你还不能不信！
附录：
应兴仁的文章
提霍尔题目（1）——直觉与计较



精选
已有 25145 次阅读 2013-3-11 07:00 |小我分类:科普|系统分类:科普集锦| 智力, 贝叶斯, 几率, 蒙提霍尔题目
几率的概念就像信心一样，存在于人们朦胧的直觉中，经过黉舍教育，概况上以为领会了，经常又与分歧角度动身的直觉抵触冲突，必须经过更深入的考查思考才可以了解。
蒙提霍尔题目标热议，即是一个例子。还没有一个简单的几率题目，长时候地迷惑着这么多的公众和学者，越是深入思考越发现题目。自1990，1991年纷起热议以后到了2000年，有跨越75篇关于这个题目标论文颁发在40多种学术和公众刊物上。两种结论频频交锋，分歧概念一向纠缠，英文Wiki被双方不竭更新材料的编辑之战折腾着。有的毛病一向到了现在才发现。二十多年曩昔了，至今还偶然在论文、书刊和电视上会商。在公众书刊和百科中混杂着很多简单化似是而非的先容。
我不想重述争议的细节和对错的结论，只是经过分解典型的说法和认知的频频，来促进对几率概念和数学模子的了解。
蒙提霍尔题目（Monty Hall problem）【1】是一个几率猜谜游戏。1990年9月Craig F. Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个题目：
在蒙提霍尔游戏节目中，让你在三扇关着的门当挑选，晓得一扇门前面是跑车，其他俩都是山羊，固然希望选中赢的是跑车。当你挑选后告诉他，比如说1号，主持人晓得车在什么地方，他翻开别的一扇门，比如说3号，是羊在那儿。然后问你，要不要改主张选2号。问：改组能否是更有益？
大大都人以为改不改都一样，由于没翻开的两扇门前面，有车子的能够性都是1/2。Marilyn vos Savant以为1号门的能够性是1/3，2号现在有2/3。她给人们一个直观的设想：倘使有辆车在一百万扇门中，你选了1号门，主持人晓得车子在那里，所以翻开门时总是避免它，成果他翻开了其他，除777777号之外一切的门，这时，你能否是很快改主张，选它了？【说法1】
这个专栏写手Marilyn vos Savant是吉祥斯记录中具有最高智商的女人，IQ 228。她在Washington University in St. Louis哲学系上了两年大学后，就退学挣钱，以便有自在来写作。
她的答案冲击了大大都人们的直觉，立即收到几千封读者的辩驳，11月著名题目专栏作家的Cecil Adams也在他“The Straight Dope”专栏里会商这个题目，持相反看法。第二年《纽约时报》在头版登出这个题目，而且访谈了这题目中的节目主持人蒙提霍尔。他也不认可。vos Savant仍然对峙本来的答案。她摊上大事了，报社收到了一万多人来信，92%以为她错了，65%来自豪学的信，大都是来自数学和科学的院系，都否决她的答案，以为这只是女人的直觉，劝她修了几率课后再谈这题目。其中有一千多个签名上有博士学位。即使她重申主持人必须翻开有羊门的假定，供给了进一步证实后，仍被大大都有学问的人思疑。没有被她压服的名流包括Paul Erdős【2】，他是最多产的数学家，研讨的题目包括组合数学、图论、数论、典范分析、逼近理论、调集论和几率论。
否决者的直觉是：主持人翻开了一扇门，里面是羊，这将三个挑选去掉一个，一辆车子和一只羊别离在剩下两扇没翻开的门中，它们各有1/2的几率是车。
vos Savant辩驳说，假如一个UFO在主持人翻开门后来临，看到两扇关着的门，外星人会赞成这个几率1/2的结论，由于她缺少这两扇门是怎样被留下来进程的信息。
有人用贝叶斯公式推出条件几率：假如A暗示车子在1号门的事务，车子能够在肆意一扇门后，所以它的几率P(A)=1/3；H暗示主持人翻开有羊门的事务，三扇门中两扇门后是羊，几率P(H)=2/3；记P(AH)为车子在1号门后而且主持人翻开了有羊门的几率；假如车子是在1号门，翻开是羊门的条件几率P(H|A)=1，则有P(AH)=P(H|A)P(A)=1/3；那末主持人翻开有羊的门后，1号门前面有车子的条件几率P(A|H)= P(AH)/P(H)=（1/3）/（2/3）=1/2，这和大师的直旁观法一样，这时没翻开的那扇门（2号）有车的几率也就是1/2，所以换不换都一样。人们推论：主持人翻开了有羊门的事务，削减了对1号门是羊的猜测，进步了1号门有车的几率，vos Savant的结论中对峙1号门的几率稳定是毛病的。【说法2】
看到不能压服读者，Vos Savant在专栏中画一个表，继续为她几率2/3的结论辩解。这里假定：客人先选1号门，主持人在2和3号中翻开有羊的门。【3】这个表包括了一切的能够，不丢脸出换门赢的机遇是不换的两倍。【说法3】

1号门	2号门	3号门	不换的成果	换的成果
赛局1	车	羊	羊	赢	输
赛局2	羊	车	羊	输	赢
赛局3	羊	羊	车	输	赢

维基百科上论证说【1】：“可以用逆向思维的方式来了解这个挑选。不管参赛者起头的挑选若何，在被主持人问到能否更换时都挑选更换。假如参赛者先选中山羊，换以后百分之百赢；假如参赛者先选中汽车，换以后百分之百输。而选中山羊的几率是2/3，选中汽车的几率是1/3。所以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为1/3的机率来说，转换挑选可以增加赢的机遇。”【说法4】
这个说法看起来锋利非常，但总是让人不安心，感觉过于简单化，给人感受像是“两个信封的题目（Two envelopes problem）”【4】里的逻辑
让你挑选两个装钱的信封，已经晓得一个比另一个多了一倍的钱。当你拿了一个还没翻开时，有人劝你：另一个能够多一倍，也能够少了一半的钱，两种情况机遇均等，均匀起来另一个是手里阿谁1.25倍，所以换了还是合算。
题目是，你要拿了另一个也可以作一样的推理，这明显是个悖论。
这里有两个概念：大大都人以为，翻开一扇有羊的门，这事务改变了其他门的几率，现在2号门有车的几率是1/2；vos Savant这边少数人以为，这不改变1号门的几率，所以2号门现在几率是2/3。
这两个概念，四种说法，到底哪些错了？为什么？
（待续）
【参考材料】
【1】 维基百科，蒙提霍尔题目http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C
【2】 Wikipedia，Paul Erdős http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s
【3】 vos Savant, Marilyn (1991a). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1991). http://marilynvossavant.com/game-show-problem/
【4】 Wikipedia，Two envelopes problem http://en.wikipedia.org/wiki/Two-envelope_paradox
蒙提霍尔题目（2）——服气和逆袭

已有 9995 次阅读 2013-3-14 06:33 |小我分类:科普|系统分类:科普集锦| 智力, 贝叶斯, 蒙提霍尔题目
早在1975年，UC Berkeley生物统计学教授Steve Selvin寄给American Statistician期刊在题为“A Problem in Probability”上就提出了这个蒙提霍尔题目（Monty Hall problem）【1】，他借用美国电视角逐主持人蒙提霍尔的节目《Let’s Make a Deal》说这故事。在后续的文章中他用条件几率给出一个简单的证实【2】，但这两篇通讯都没有压服否决的学者。1987年Nalebuff在“The Journal of Economic Perspectives”困难的栏目，1989年Phillip Martin在“Bridge Today”的文章把这题目也归结为几率的计较。1990年Marilyn vos Savant【3】在“Ask Marilyn”专栏将这题目略加标准来会商，引发了普遍的留意。自此今后，有很多的论文以此为题，并在几率和统计课堂和教科书上先容。
Vos Savant在专栏诠释当中廓清了一些含糊之处，规定：主持人必须在你挑选的门之外，翻开一扇有羊的门，然后让你做第二次挑选。固然，车子的放置和参赛人的挑选都是完全随机的。大师对这个廓清少有异议，人们关心的是真正成心义的题目，而不是其他无争议的变种。
这个vos Savant标准化的题目重述以下。
让你在三扇关着门中自在挑选，晓得一扇前面是车，其他俩都是羊。当你挑选后告诉他，比如说1号，主持人晓得车在什么地方，他必须在你选的门之外翻开一扇有羊的门，比如说3号。然后问你，要不要改主张选2号。问：改组能否对选到车更有益？【题目1】
面临着上万个没法压服的读者，vos Savant在全国黉舍的数学课里构造一个统计尝试，一切黉舍的尝试成果都符合她的结论，接着有几百小我以分歧的方式，用计较机做仿真尝试，有97%的成果赞成改组是更有益的。至此，绝大大都人都被压服，赞成了她的概念。决议研讨学者Andrew Vazsonyi报道说：著名的数学家Paul Erdős直到这时才被压服了。
Vos Savant大获全胜，对于不合适她结论和尝试成果的结论，都归结为不合适她标准题目标变种。那是别的一个题目标答案。可是对于喜好思考的人，这还不够。我们要大白，否决的说法错在什么地方？结论对的，论证的逻辑也对吗？先看否决1号门几率稳定，基于贝叶斯公式的推导。
【说法2】 假如事务AA暗示车子在1号门，车子能够在肆意一扇门后，所以它的几率P(A)=1/3P(A)=1/3;HH暗示主持人翻开有山羊的门的事务，三扇门中两扇门后有山羊，几率P(H)=2/3P(H)=2/3；P(AH)P(AH)是车子在1号门后而且主持人翻开了有羊的门的几率；已知车子在1号门翻开有羊门的条件几率P(H|A)=1P(H|A)=1，不丢脸出P(AH)=P(H|A)P(A)=1/3P(AH)=P(H|A)P(A)=1/3；那末主持人翻开有羊的门后，1号门前面有车子是条件几率P(A|H)=P(AH)/P(H)=(1/3)/(2/3)=1/2P(A|H)=P(AH)/P(H)=(1/3)/(2/3)=1/2，这和大师的直观一样，那没翻开的那扇门（2号）有车的几率也是1/2，所以换不换都一样。
这说法毛病在于，式子P(H)=2/3P(H)=2/3是主持人随机翻开2号或3号门的几率。这就不能保证翻开的门前面总是羊。这不合适标准题目标题意。按规定主持人必须翻开有羊的门，这时应当是P(H)=1P(H)=1，条件几率P(A|H)=P(AH)/P(H)=1/3P(A|H)=P(AH)/P(H)=1/3，也就是说，在这规定下1号门的几率稳定，那剩下阿谁门有车的几率就是 1 - 1/3 = 2/3 。这证实了vos Savant的说法。反过来，假如主持人不是成心翻开有羊的门，而是随意翻开一扇，这个场景碰巧里面是羊，那大师的直觉对，vos Savant就错了。但这不合适标准题目标规定，是变种的题目了。
我们现在来看维基百科上的逆向思维诠释【4】：
【说法4】不管参赛者起头的挑选若何，在被主持人问到能否更换时都挑选更换。假如参赛者先选中山羊，换以后百分之百赢；假如参赛者先选中汽车，换以后百分之百输。而选中山羊的几率是2/3，选中汽车的几率是1/3。所以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为1/3的机率来说，转换挑选可以增加赢的机遇。
这结论合适尝试和vos Savant的成果，但这揣度中没有包括主持人是怎样的挑选。从【说法2】分析中晓得，主持人是成心还是随意翻开恰巧是有羊门的情况，这两者的结论是分歧的。所以这个说法是糊里糊涂地蒙事了。
那vos Savant最初的说法也是很是简洁和直观的，这回答有题目吗？她这说法可以改写得更明白一点：
【说法1】 1号门有车的能够性是1/3，其他两个一共有2/3。主持人翻开没有车的那扇门，给你机遇改组另一扇门，等价于给你机遇改组2号和3号结合在一路的两扇门，他现实上帮助你拿掉了没有车子的那扇门，让大师感觉只是选另一扇。
在这个说法里，确切必须有“主持人必须翻开没车的门”这个规定才能建立。由于2号和3号当中最少有个是羊，是已知的究竟，主持人揭露这究竟的事务，并没有为它们之外的1号门供给新的信息。所以不改变了本来1号门的几率。它只改变2号和3号之间的几率分派。反之，假如主持人是随机的挑选，他有翻开是车的门的能够性，所以它并不纯真地揭穿了这个究竟。假如他是在3扇门之间的随机挑选，这事务也给他挑选范围中的1号门，供给了新的信息，改变了它的几率。这就能诠释随机挑选的结论。
主持人即使必须只在2号和3号当中翻开一扇有羊的门，也改变了2号和3号之间的几率分派。这个认知，让我们感觉这和具体的场景有关系，有需要重新审阅一遍这个题目。斟酌【题目1】举例说明的这个具体场景：
参赛人挑选了1号门，主持人翻开3号门里面是羊，问：要不要改组2号？
不难用贝叶斯公式计较这个条件几率。记事务S为参赛人挑选1号门，Z为主持人翻开有羊的3号门，A、B、C别离为车子在1、2、3号门，在这个场景下2号门有车的条件几率可以写成：P(车子在2号门 | 主持人翻开了有羊的3号门，参赛人挑选1号门)，即
P(B|ZS)=P(BZ|S)/P(Z|S)P(B|ZS)=P(BZ|S)/P(Z|S)
=P(Z|BS)P(B|S)/(P(Z|AS)P(A|S)+P(Z|BS)P(B|S)+P(Z|CS)P(C|S))=P(Z|BS)P(B|S)/(P(Z|AS)P(A|S)+P(Z|BS)P(B|S)+P(Z|CS)P(C|S))
由于车子地点及参赛人挑选都是完全随机的，条件几率P(A|S)=P(B|S)=P(C|S)=1/3P(A|S)=P(B|S)=P(C|S)=1/3；主持人必须在1号门之外翻开一扇有羊的门，意味着条件几率P(Z|BS)=1,P(Z|CS)=0P(Z|BS)=1,P(Z|CS)=0；这时辰我们有：
P(B|ZS)=1/(P(Z|AS)+1)P(B|ZS)=1/(P(Z|AS)+1)，这里P(Z|AS)P(Z|AS)是参赛人挑选1号门车子也在1号门时，主持人翻开3号门的几率。
在这类情况2和3号门后都是山羊，主持人任何挑选都合适题意，他假如完全随机在它们间挑选，P(Z|AS)=1/2P(Z|AS)=1/2，2号门有车的几率是2/3，同于vos Savant的答案；假如这时他总是选3号，P(Z|AS)=1P(Z|AS)=1，则2号门几率为1/2，不异于公共的答案；假如这情况不选3号，P(Z|AS)=0P(Z|AS)=0，则几率为1，这是由于主持人只要车子在2号门才不能不翻开3号门的情况。
这是Morgan等四位美国数学和统计系的教授在《American Statistician》1991年论文【7】中根基逻辑的简述。用贝叶斯揣度来考查这个具编制子，说了然即使是vos Savant的标准题目，大师的答案也都有事理，究竟是哪一个答案对，取决于主持人挑选时的一念之间。这是学术界形式逻辑派的绝地反扑，对Vos Savant的逆袭！
那末尝试统计和Vos Savant的样本空间证实【说法3】又错在那里？
（待续）
【参考材料】
【1】  Selvin, Steve (February 1975), "A problem in probability (letter to the editor)", American Statistician 29 (1): 67 http://www.jstor.org/discover/10.2307/2683689?uid=3737864&uid=2&uid=4&sid=21101099694733
【2】 Selvin, Steve (August 1975), "On the Monty Hall problem (letter to the editor)", American Statistician 29 (3): 134 http://montyhallproblem.com/as.html
【3】 Wikipedia，Marilyn vos Savant http://en.wikipedia.org/wiki/Marilyn_vos_Savant
【4】 维基百科，蒙提霍尔题目http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C
【5】 Wikipedia，Monty Hall problem http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
【6】 vos Savant, Marilyn (1991a). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 12 (17 February 1991). http://marilynvossavant.com/game-show-problem/
【7】 Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let's make a deal: The player's dilemma," American Statistician 45: 284–287. http://www.its.caltech.edu/~ilian/ma2a/monty1.pdf
蒙提霍尔题目（3）——主观和客观



精选
已有 9249 次阅读 2013-3-16 06:16 |小我分类:科普|系统分类:科普集锦| 智力, 贝叶斯, 蒙提霍尔题目
上篇考查vos Savant标准题目及第例说的具体的场景【1】【2】
在三扇别离藏有一辆车两只羊门的猜测中，参赛人选了1号门，主持人翻开3号门里面是羊，问：改组2号能否是有更大机遇选到车？【场景1】
用贝叶斯公式计较出这个场景下的条件几率
P（车在2号门 | 选1号门，翻开3号门）= 1/（P（翻开3号门 | 选1号门，车在1号门）+ 1）
发现这时2号门有车的几率是在1/2到1之间，依主持人的心念而定。【2】【3】固然主持人是仍然要遵照vos Savant标准题目标规定，即主持人必须在参赛人挑选的门之外，翻开一扇有羊的门，然后让参赛人做第二次挑选。
那末已经服气了公共的尝试统计及vos Savant的样本空间证实【说法3】，和这贝叶斯公式的计较相异，到底哪个对？
让我们细考一下这个vos Savant的样本空间证实

1号门	2号门	3号门	不换的成果	换的成果
赛局1	车	羊	羊	赢	输
赛局2	羊	车	羊	输	赢
赛局3	羊	羊	车	输	赢

这个样本空间是针对vos Savant标准题目标整体而言，即不加区分主持人翻开是哪个门，只要必须翻开有羊的门的情况。Vos Savant从入彀较出她2/3几率的结论。尝试不外乎依照这个了解，将这些样本随机发生出来，再加以统计。这相当于主持人在还没肯定翻开哪个门之前问这题目，这翻开的门能够是3号，也能够是2号。这时你可以算出主持人没有翻开的另一扇门的几率是2/3。而上述的条件几率计较则是说：当主持人翻开了3号门，让你看到了并不意外的究竟后，你就不能肯定另一扇门的几率了！
让我们考证一下这个情况。这个具体的例子【场景1】中主持人翻开有羊的3号门，这只能包括赛局1和2这两种样本。依照规定，主持人在赛局2他是没有挑选地翻开有羊的3号门；在赛局1时，他可以依照自己的心中的任何法则来挑选2或3号门，而不违反规定。假如主持人自己的法则是，总翻开3号门，那赛局1和2样本有均等机遇出现在3号门被翻开的场景中，其2号门有车的几率是1/2；反之，假如这时他的法则是，总是翻开2号门，而这里翻开的却是3号门，那赛局1就不成能出现在这场景中，只要赛局2才有能够，其2号门有车的几率是1；假如这时他是均匀在2和3号门当选，赛局1样本在3号门被翻开时出现的几率是赛局2的一半，这时2号门有车的几率是2/3。主持人在赛局1的情况，按分歧的频次的法则翻开3号门，2号门有车的几率从1/2到1之间都有能够。这考证了按贝叶斯公式导出的条件几率的公式。
大家以为尝试的成果是最客观的，实在尝试的数据该怎样统计，却是决议它的成果。假如我们用统计尝试来考证这个具体的场景，统计只能计较合适这场景的样本，而不是全数的数据，这时辰尝试中主持人开门的分歧法则，就显现出分歧的成果。
在这个之前，样本空间的证实和尝试的统计是不加区分地对一切能够的场景而言，主持人在赛局1分歧的开门偏好形成了每个场景中另一个门有车的分歧几率，可是一切场景的整体，大概说对于一切场景计较出来的另一个门有车几率的均匀值却是2/3，如同vos Savant的直观证实、样本空间的证实和尝试的统计出来的结论一样。所以vos Savant对于不但是针对3号门被翻开的具体场景，而是一般的情况，并不是没有事理的。
至此，我们似乎可以得出结论：vos Savant的2/3几率结论合适于不加区分主持人翻开哪扇门的整体情况。在主持人翻开门后，在这个具体的场景中，另一扇门的几率是1/2到1之间的一个数，依主持人的开门法则而定。在1991年后的近二十年中，Wiki和大部分先容文章都认同这个结论。这也是对简单地以为vos Savant的2/3几率是正确答案的否认。
面临着一个具体的场景，一样是主持人翻开一扇有羊的门，仅仅是主持人的动机分歧，一样的事务形成另一扇门有车的几率分歧。也就是说主持人只是自己心里想的，未来的事还没做，这就影响到了另一扇现在的几率。本来有比力肯定几率的整体，被究竟揭穿落后入一个场景反而更不能肯定它的几率。这让很多人感应困惑和哲学上的沉思。人们很快会联想到量子的不肯定，坍缩和量子纠缠等等。
这似乎很奥妙。到底这个几率是几多，我们可以经过事后观察统计来获得。这个几率叫“客观几率（频次几率）”由频次方式来界说。我们在事后的观察统计中，已经包括了主持人在他的法则下的具体行动的结果。
读者和参赛人事前可以推算出这个几率吗？能，只要我们晓得这个观察统计尝试中一切的挑选法则。这样推算出来的几率叫“主观几率（贝叶斯几率）”由推算者把握的信息来计较。假如我们晓得主持人是依照什么法则来开门，那末得出的就是上述贝叶斯公式计较出来的条件几率。它一定符适用不异法则尝试统计出来的客观几率。假如不晓得这个潜法则，那末对于主持人翻开3号没有羊门的事务就没法用来批改先验的信息。
从这个概念往返顾蒙提霍尔题目标争辩就豁然开畅，题目中几率用贝叶斯公式来推算。最初，只晓得车子的放置和参赛人的挑选都是完全随机的，这肯定各个门有车的先验几率是1/3。当我们晓得主持人翻开一扇有羊的门时，这个解除一扇门和一只羊的信息，将这先验几率批改为1/2。这就是公共的猜测。当我们晓得主持人必须翻开一扇有羊的门时，这更丰富的信息，连结了1号门后验的几率稳定，仍然关着那扇门后验几率则变成2/3。假如我们晓得具体主持人翻开了哪扇门并晓得他的开门法则，我们就能算出仍然关着那扇门的后验几率。一切这些推算都是主观几率，具体数值依所知几多开门法则的常识而定。各方所猜测的几率数值，依照他们所了解的开门信息，得出的成果都是对的。争辩在于不领会对方所按照的信息，缺少对几率概念的深入了解，把自己的主观几率看成客观几率。现实上，不是基于尝试的数据，可以被推理论推算的几率，都是主观几率，这个题目问的也是主观几率。所分歧的是你能在这故事中挖掘出来几多有用的信息得出最正确的后验几率。
在这个具体的【场景1】中，假如不晓得主持人在赛局1的开门法则，我们可以得出与客观几率不异的主观几率吗？不能。我们还是只能推算出2/3的成果，这已经是最大限度地操纵已知的信息。这这个概念来看，Morgan等四位教授论文【3】中否决vos Savant的结论是错的。这个毛病一向等到20年后才被人指出【4】。
假如我们就像在现实的蒙提霍尔游戏节目中面临着这样的场景：初选1号门，主持人翻开有羊的3号门，并不晓得他依照什么法则来挑选的，甚至不晓得会不会翻开有车的门，这时问：能否是换2号门更有益？我们可以用几率来肯定更换的益处吗？不能。用贝叶斯公式不难推算出，这时2号门有车的几率从0到1任何一种皆有能够。最初的成果不是由几率计较就能肯定的，它是由主持人和参赛者各自的决议所配合决议的。这不是一个几率的题目，是博弈的题目【4】。我们应当用博弈的模子来处理。
很多人利用数学处理现实题目时，发现究竟与计较的纷歧样，就把它归结为数学的范围，实在更应当检查的是：自己有没有用对了数学的模子。
假如你在读这三篇连载时，你的成果与这最初的答案是不异大概相异，这都不重要。重要的是，这回嘴的来由和推理有没有在你心中想过，这决议了你对几率的了解有没有新的收获。
同一个故事，同一个题目，可以从分歧方面来解读，也就有分歧的体味。有人感觉无聊，有人急于晓得答案，有的从争论方的动机来猜测对错。但假如想有最大的收获，读这个故事时，就要把其中人物的动机和胜败得失，以及自己答案的对错撇开，集合于几率题目标思考。实在天下上的人行事都有其动机，不管动机能否纯洁，只要他们的解答是合适逻辑的，就值得思考，客观地思考是一个进修的进程。数学的对错无关动机，只凭逻辑。这个题目和各方的答案，能有这么多人长时候地在学术刊物上争辩，就说明不是个很简单的题目。假如把它看简单了，那就说明自己的思考还不周全，也没有深入到细节，还不可以清楚地分辨各类来由逻辑中的误区。假如你跟了故事里分歧概念来思考，那即是一个很勤进修几率概念的进程。
【参考材料】
【1】  科学网博文“蒙提霍尔题目——直觉与计较” http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=826653&do=blog&id=669134
【2】 科学网博文“蒙提霍尔题目——服气和逆袭” http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=826653&do=blog&id=670132
【3】 Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let's make a deal: The player's dilemma," American Statistician 45: 284–287. http://www.its.caltech.edu/~ilian/ma2a/monty1.pdf
【4】 Gill, Richard (2011) The Monty Hall Problem is not a probability puzzle (it's a challenge in mathematical modelling). Statistica Neerlandica 65(1) 58–71, February 2011. http://arxiv.org/pdf/1002.0651v3.pdf
[33]qygrswg   2013-3-11 23:02
这个所谓“猛体落而”题目，没细看，好象挺复杂，挺乱。但阿谁“两个信封题目”，大白了。这也算题目？题目出在这里：他现实上成了这个题目了：选定一个信封后，还有两个信封，一个装1/2，一个装2。大概就算只要一个信封，但装1/2和2 的几率各1/2。此时他最早选的阿谁信封中装1。1是稳定的。这样才有1.25的事。所以文中的论述是错的。实在的答案应当是：由于两个信封中的钱的比例关系已定了。所以，我们得说当我们拿到的信封的中的钱是多的（2）时（此为条件），才有另一个信封中的钱是1/2。此时有2*1/2=1。而相反，假如我们最早拿到的信封中装的钱是少的（1/2），才有另一个信封中的钱是多的（2），也就是有1/2*2=1。其几率是（1+1）/2=1。不是吗？此为条件几率。所以说，数学中布满着隐含的条件。光从字面上了解是看不透本质的。
应行仁 答复  ： 这只是反衬【说法4】给大师思考热身的小佐料，一切的跟帖都是在斟酌有难度的真正题目
[36]qygrswg   2013-3-12 18:06
就这么个题目，疑似很简单的么。怎样会像博主说的那末邪呼。还是我自己的了解有题目？
   我的看法是：三个门，别离是车、羊1和羊2。
    情况别离是：四种情况，1、客人选羊1，主持人选羊2，客人选车，赢1；
           2、客人选羊2，主持人选羊1，客人选车，赢2；
           3、客人选车，主持大家选羊1，客人选羊2，输1；
            4、客人选车，主持人选羊2，客人选羊1，输2。
       假如能如此，固然赢面一样，几率相称。但客人的挑选是随机的，选车、羊1、羊2的几率各1/3。也就是3、4步合起来，不是占1/2的几率，而是1/3的几率。如此，终极几率必纷歧样了，如此选法，赢面大。而不是什么1/2的几率了。
[1]qygrswg   2013-3-14 09:23
弄了一大堆花里巴哨的公式，你自己看看你都写了些什么：倒数第三段。
        “。。。。。。在这类情况下2号门、三号门前面都是山羊，。。。。2号门有车的几率是三分之二。。。。。。。”等等。请想好了再写！
         你的钱包里一无一切，但有钱的几率是2/3，对吧？不错呀，你财源滔滔，白手套白狼，什么时辰把你的这个钱包给我用用，我给你背工。呵呵
[10]qygrswg   2013-3-14 16:12
贝叶斯假如还在世，也得让这些人给活活力死。
      游戏介入者选中这三个门的几率固然都是1/3。由于他不晓得车在那里。车如在1号门，游戏介入者选它的几率固然是1/3，此点主持人不成能操纵。改变其几率。在条件下，主持人牢固选3号门，几率为1；主持人随机选2号、3号门，几率各1/2，这能说明什么？对无车有羊这一点而言，两者完全一样！，一个是几率1，一个是1/2+1/2=1,还是1。1再乘1/3，还是1/3。
        这些人是被自己的公式把脑子搞乱了！
[11]qygrswg   2013-3-14 16:25
这个故事，假如是真的话，是个典型的所谓“专业人士”败在专业人士的手下，尔后想方设法把水混淆（这里是用他们的拿手好戏——谁也不懂，他们自己也一定真懂或全懂的“公式”），试图挽回点体面的绝好实例。
[14]qygrswg   2013-3-15 10:51
此题是一个乱套公式的典型案例。倒数第三段。开首的阿谁1/2，不是像概况看起来的那样是带进公式中的，而是在游戏者一路头就选中有车的门后，必定出现的两种情况中每一个的必定的几率。这是条件几率，无别的挑选，对这个公式的可用性而言。尔后来的“1”，几率，不是自然的，而是报酬的。概况看它也是几率，但这里是作为报酬加进的新条件而获得的几率，而不是这个公式所代表的阿谁条件下的几率了。所以，原公式必不成用。要在新条件下建立新的公式，不是几率1，把1带进去就了事了。
       既然早有尝试及计较机模拟的正确结论，就应当充实尊重尝试，以此来审阅理论、公式。而不是相反。
[4]qygrswg   2013-3-16 19:47
做学问，要有把复杂的题目最简化，一把就捉住关键的才能。而不是相反，把题目搞的头昏眼花。假如真如博主先容的情况，此题目搞了几十年才大白，只能说明本国人也不咋地。我在这个题目标博文的之一、之二中的留言没错。而且哪有那末复杂。博文中的二信封题目和这个蒙什么题目，我各自的思考时候不外半个小时。进来散步时还不大白，返来就大白了。我对阿谁91年的“逆袭”的化解，本质就是什么“主观几率”的另一种说法而已。总之，不能与原几率混用。就这么个题目，还用二十年？难以置信！不外联想到康托对角线法的题目存在百多年了，居然无人看穿。我如此详实地表述出了，还不大白，这些难以置信的事，你还不能不信！




原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/599357814
免责声明：
1、文章部分图片源于收集，均为表示图；
2、一切文章、图片、音频视频文件等材料版权归版权一切人一切；
3、因非原创文章及图片等内容没法和版权者联系，如原作者或编辑以为作品不宜上网供阅读，或不应无偿利用，请实时告诉我们，以敏捷采纳适当办法，避免给双方形成不需要的经济损失；
4、本页面内容由爬虫法式自动收集于互联网，如无意中加害了媒体或小我的常识产权，请电邮【E-Mail:cb@yoyodoc.com】告之，我们将于24小时内删除。