若何用最简单的逻辑破解“双信封悖论”

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来历：知乎



先援用一段百度里搜到的关于“双信封悖论”的先容：
现在有信封A和B，它们里面都装着钱，其中一个的数目是另一个的两倍。现在让你任挑一个信封，把里面的钱拿走。但在挑选之前，我们不晓得信封里的钱是几多。
现在你挑选了信封A，翻开一看，里面有100块。现在有机遇让你改组B，你改不改组？
由于B能够有200块，也能够有50块，它们的能够性都是50%。那末B的期望值是200 x 50% + 50 x 50% = 125，比A的100元多。所以应当改组。
在上面的推理中，100元并没有起到本色性的感化。也就是说，不管A里面有几多钱，只要你把A翻开，你就发现应当改组B。
而假如你一路头不是挑选A而是挑选B，那末也应当改组。
钱包总是他人的好。题目究竟出在那里？
再感激一下知乎大神 Mather King 的诠释，大神已经诠释的比力清楚了，但我还是想谈谈我自己的想法，用我感觉最简单的逻辑来盘一盘这个悖论。下面起头：
1、这个悖论会发生关键就在于把第一次翻开信封看到的钱作为计较基数发生的题目；
2、轻易了解的正解：假定A、B两个信封加起来的总钱数是T=3N元，那末很明显，两个信封里别离装有N元和2N元。当我选中A信封，翻开看到里面的钱数后，正确的思考思绪应当是这样的。
2-a、有50%的几率，我手里的钱是比力少的一方，那我手里的钱就是N元，对方B信封里的钱就应当是2N元，假如我挑选交换，交换成功后，我手里的钱酿成2N元，我额外多赚了N元。
2-b、别的有50%的几率，我手里的钱是比力多得一方，那我手里的钱就是2N元，对方B信封里的钱就应当是N元，假如我挑选交换，交换成功后，我手里的钱酿成N元，我少赚了N元。
发现了吧，不管最起头我拿到的是钱多的信封还是钱少的信封，额外亏的和赚的钱数都是N元。终极交换的额外收益期望值是0.5×N+0.5×-N=0，所以换不换都一样。对方用一样的逻辑也会获得一样的成果。题目处理了！
3、最起头悖论发生的缘由：看到上面第2条我的分析，有没有发现跟原版题目描写那里纷歧样。对了，就是若何看待自己手里的钱数。原版题目是看到自己手里的钱数（假定是M元），然后猜测对方信封里的钱数是0.5M元大概是2M元，因而基于这个猜测两个信封的总钱数别离是T1=1.5M元大概是T2=3M元。以自己手里的钱为基准，获得了两个总钱数的成果。但很明显，两个信封的总钱数应当是个肯定的值。也就是T1应当即是T2，但这样的话就酿成了1.5M=3M，双方各减1.5M，成果就是1.5M=0，M=0，总钱数T1=T2=0。得出了一个诡异的成果，两个信封都没钱。
适才的计较进程中最大的题目就是算出总钱数T1=1.5M元大概是T2=3M元这一步，再仔细想想，我们得出这个两个成果时，两个M职位不异吗？
4、用原版描写用另一种了解方式再盘一次：
我挑选A信封，发现里面的钱数是100元，那末
4-a、对方B信封里能够是50元，总钱数是150元，交换后我的钱酿成50，对方酿成100。但两人总收益仍然是150元。
4-b、对方B信封里是200元，总钱数300元。交换后我的钱酿成200，对方酿成100,。但两人总收益仍然是300元
发现了吗，两种假定总钱数也即两人总收益纷歧样。两者差了2倍。但原版悖论把两种情况按不异的权重停止计较，是以酿成的诡异的悖论。
按4-a的假定，总钱数150元，非论怎样交换，额外收益也就是±50元，但按4-b的假定，总钱数300元，交换的额外收益酿成的±100。为了拉平到同一标准来比力，4-b假定的计较成果应当乘以0.5的权重才可以与4-a假定停止比力。
是以按4-a的假定，交换后我的收益期望值从50%×100=50元酿成了50%×50=25元，少赚了25元，按4-b的假定，交换后我的收益期望值从0.5（权重）×50%×100=25元酿成了0.5（权重）×50%×200=50元，多赚了25元。看，两种情况算出来收益期望值增加的和削减的是一样的，相互抵消。终极收益期望值稳定。所以换不换都一样。




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